Będę chronił tych, którzy nie mogą ochronić się sami.
Ruch harmoniczny: x=Acos(ωt+ф0),v=-Aωsin(ωt+ф0),a=-Aω2cos(ωt+ф0)=-ω2x, ω =2πT=2πf; energia: Ep=kx^22=kA^22cos(ωt+ф0), k=mω2 ,Ruch tłumiony: x(t)=A0e^(-bt2m)sin(ωt+ф), ω=ω0^2-(b2m)^2 , ω0=km, Logarytmiczny dekrement tłumienia: σ=lnAnAn+1=lneβT=βT; β=b2m. T=2πω, σ=βT
Drgania:
Drganie-Proces, podczas którego opisująca go wielkość fizyczna kolejno rośnie i maleje.Drgania dzielimy na okresowe i nieokresowe. Drgania nazywamy okresowymi, jeżeli opisująca je funkcja x(t) jest okresowa. Czyli jeżeli istnieje taka wielkość dodatnia T, że w każdej chwili t x(t+T)=x(t). Okresem drgań-nazywamy najmniejszą z wielkości T, dla których zachodzi powyższa równość. Część drgań okresowych, która zachodzi w trakcie jednego okresu nazywamy cyklem drgań-nazywamy. Częstość drgań-Odwrotność okresu, czyli liczbę cykli drgań w jednostce czasu. v=1/T. Jednostką częstości jest herz: 1 Hz = 1 cykl/s. Amplitudą drgań okresowych nazywamy największe odchylenie od położenia średniego:a=xmaxmax-xśr=xśr-xminmin. Położenie średnie, to: xśr=Xmaxmax+Xminmin2,zatem:a=Xmaxmax+Xminmin2 .Drgania harmoniczne-najważniejszym przypadkiem drgań okresowych x=asin(ωt+ф);gdzie: a – amplituda drgań, w – częstość kołowa (pulsacyjna) ->ω=2 π v=2π/T, w t + Ѳ – faza drgań harmonicznych (czyli faza), Ѳ – faza początkowa. Okres oznacza proces, w którym w równych odstępach czasu powtarza się wybrany stan ruchu.
Przypadkiem drgań związanych z drganiami harmonicznymi są drgania harmoniczne z modułową amplitudą: x(t)=A(t)sin(ωt+ф);gdzie: gdzie A(t) jest funkcją okresową o wartościach nieujemnych, taką że jej okres jest znacznie większy od 2π/ω. Intensywność procesu modulacji jest mierzona współczynnikiem głębokości modulacji: µ=Amax-AminAmax+Amin, Drgania z modulowaną fazą, to drgania opisane funkcją: x(t)=asin[ωt+ф(t)]; gdzie ф(t) jest funkcją okresową, taką że:|dф(t)dt|<<ω.
Jeżeli częstości obu drgań różni się bardzo mało, powstaje zjawisko dudnienia. Sumowanie drgań harmonicznych zależy od stosunku częstości i amplitud drgań składowych. W trakcie badania analitycznego funkcji opisujących wymuszenie lub drgania wykorzystujemy: 1.szereg Fouriera, jeżeli badana funkcja jest okresowa; 2.całkę Fouriera, jeżeli badana funkcja jest nieokresowa. W obu przypadkach zakładamy, że badana funkcja f(t) jest całkowalna z kwadratem, czyli: ∫T0|f(t)|^2dt<-dla funkcji okresowych,∫T0|f(t)|^2dt<-dla funkcji nieokresowych. Drgania okresowe f(t) można przedstawić jako sumę skończoną lub przeliczalną drgań mechanicznych:f(t)=a0+∑n=1(ancosnpt+bnsinnpt);gdzie:a0=1/T∫T0f(t)dt,an=2/T∫T0f(t)cosnptdt,n=1,2,3..,bn=2/T∫T0f(t)sinnptdt,T=2π/p. Z poprzednich zależności można zapisać: f(t)=A0+∑n=1Ansin(npt+фn),gdzie: An=an2+bn^2 , tgфn=anbn,A0=a0
Równania różniczkowe:
Rów różniczkliniowe rzędu II: y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x), gdzie p(x), q(x), i f(x) są to dane funkcje ciągłe w pewnym przedziale (a, b). Rozwiązaniem jest rodzina funkcji zmiennej x, które zawierają dwie stałe dowolne. Takie rozwią jest nazywane rozwiąz ogólnym lub całką ogólną rów różniczkowego
Rów różniczkowe liniowe jednorodne (uproszczone): ay’’+by’+cy=0, gdzie a ≠0, b oraz c to stałe. Tworzymy rów charakterystyar2+br+c=0, i obliczamy Δ=b2-4ac, Mamy 3 przypadki: 1. Δ>0 : y=C1er1x+C2er2x , gdzie r1 i r2 są rozwiąz rów charakterysty, C1, C2 – dowolne stał, 2. Δ=0: y=(C1x+C2)erx ,. 3.Δ<0 y=(C1cosβx+C2sinβx)eαx, gdzie C1, C2 – dowolne stałe oraz α=-b/2a, β=-Δ/2a
Równ różniczkowe liniowe niejednorodne II rzędu ma postać: ay’’+by’+cy=f(x)
gdzie a ≠ 0, b oraz c to stałe. Rozw tego rów jest suma całki ogólnej równania jednorodnego ay’’+by’+cy=0 oraz całki szczególnej danego równania niejednorodnego. Całkę szczególną znajdujemy met przewidywań.
ZASADY PRZEWIDYWANIA CAŁKI SZCZEGÓLNEJ: 1.Jeżeli f(x)=Wn(x)*epx gdzie Wn(x) oznacza wielomian stopnia n, to całkę szczególną zapisujemy w postaci:Zn(x)*epx lub Zn(x)*epxx lub Zn(x)*epxx2 gdzie Zn(x) jest wielomianem stopnia n. Jeżeli p jest k-krotnym pierwiastkiem rów charakterysty, to przewidywanie powinno mieć postać: Zn(x)epxxk 2. Jeżeli f(x)=(acosmx+bsinmx)epx gdzie a, b, m oraz p to konkretne liczby, to całkę szczególną zapisujemy w postaci (Acosmx+Bsinm)epx za wyjątkiem przypadku gdy jednocześnie Δ<0, α=p, |β|=|m|Wtedy przewidywanie ma postać: (Acosmx+Bsinm)epxx 3. Jeżeli f(x) jest sumą kilku funkcji opisanych w 1. oraz 2. to dla każdej z tych funkcji oddzielnie przewidujemy i obliczamy całkę szczególną, a następnie wszystkie otrzymane całki szczególne sumujemy. WNIOSKI 1. Jeżeli f(x)=Wn(x) i 0 jest k-krotnym pierwiastkiem rów charakte, to całkę szczególną przewidujemy w postaci: Zn(x)*xk gdzie Zn(x) jest wielomianem stopnia n.
2. Jeżeli f(x)=aepx i p jest k-krotnym pierwiastkiem rówcharakte, to całkę szczególną przewidujemy w postaci: Depxxk gdzie D pewna nieznana liczba 3. Jeżeli f(x)=acosmx+bsinmx to całkę szczególną przewidujemy w postaci: Acosmx+Bsinmx za wyjątkiem, gdy jednocześnie Δ<0, α=p, |β|=|m| Wtedy przewidywanie ma postać: (Acosmx+Bsinm)x RÓWNANIA II RZĘDU „BEZ Y” Równanie różniczkowe 2 rzędu „bez y” tzn.: F(x,y’,y’’)=0 rozwiązuj wprowadzając funkcję pomocniczą z=y RÓWNANIA II RZĘDU „BEZ X” Rów różniczkowe drugiego rzędu „bez y” tzn.: F(y,y’,y’’)=0 rozwiązujemy wprowadzając funkcję pomocniczą u(y)=y’ Wtedy y’’=u’y’ RÓWNANIE JEDNORODNE INNY WARIANT
Rów jednorodne, gdy wszystkie wyrażenia mają ten sam stopień ze względu na y. Należy postawić: y=ew gdzie w=w(x) , a następnie podzielić przez e2w
DRGANIA TŁUMIONE
Ruch harmoni tłumiony –ruch tłumi przez tacie. W wyniku tego tarcia amplituda drgań zmniej się stopnio, aż do 0 . ...